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 considérer une équation différentielle comme définissant une fonction, et se 

 proposer d'étudier les propriétés de cette fonction sur l'équation différentielle 

 elle-même. 

 » Soit 



une équation différentielle de premier ordre; u sera une fonction de z, 

 définie par la condition de satisfaire à l'équation différentielle et d'admettre 

 une valeur initiale donnée Mq pour z =: Zq. M. Cauchy a démontré que si le 

 coefficient différentiel/ (i<, z) est une fonction finie, continue, monodrôme 

 et monogène pour les valeurs de m et de z voisines de Wo et de Zq, la fonction 

 intégrale it est elle-même finie, continue, monodrôme et monogène pour 

 les valeurs de z voisines de Zq {*)■ Nous reproduisons, en la simplifiant, la 

 flémonstration de l'illustre mathématicien ; c'est là notre point de départ. 

 » Ainsi, la variable z s'éloignant de l'origine Zq suivant un chemin quel- 

 conque, tant que le coefficient différentiel jouit des propriétés énoncées 

 plus haut, la fonction intégrale u reste finie, continue, monodrôme et mo- 

 nogène; mais si l'on arrive à un point z, pour lequel le coefficient différen- 

 tiel devienne infini, se présente sous la forme -j ou cesse d'être monodrôme, 



la fonction intégrale éprouve autour de ce point des modifications et 

 acquiert des propriétés spéciales. Nous nous sommes proposé d'étudier 

 ces circonstances qui caractérisent les diverses fonctions et les classent en 

 catégories. 



» I. Supposons que, pour z ;= z, et m = a, («, étant la valeur de u qui 

 correspond à z = z,), le coefficient différentiel devienne infini, de manière, 



toutefois, que son inverse j- -reste finie et continue. En désignant par m 



l'ordre de la première dérivée partielle de la fonction -, par rapport à ii 



qui ne s'annule pas, nous démontrons que, lorsque la variable z tourne 

 autour du point z,, la fonction intégrale ii cesse d'être monodrôme et 

 prend m ■+- i valeurs différentes qui se permutent les unes dans les autres 

 en série circulaire, comme les racines d'une équation unique. 



(*) M. Cauchy dit qu'une fonction est 77Jo«orf/idOTe lorsqu'elle prend la même valeur en 

 chaque point , quel que soit le chemin suivi pour y arriver ; qu'elle est monogène lors- 

 qu'elle admet une dérivée unique en chaque point, quelle que soit la direction dans 

 laquelle marche la variable. 



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