( ^70) 

 » IL Supposons maintenant que le coefficient différentiel se présente 



sous la forme -• Ceci a lieu lorsque le coefficient différentiel est le quotient 



de deux fonctions ç et ij; qui s'annulent toutes les deux par z = z, et « = m, . 

 Si l'on pose z^ z, -+- z', u = Uf + «', en regardant z' et u' comme des 

 quantités infiniment petites, l'équation différentielle devient 



du' 



» Après avoir expliqué les diverses manières de former lis groupe des 

 termes du degré le moins élevé dans l'équation, nous posons 



p et q étant deux nombres entiers correspondant au mode de groupement 

 considéré, Vq une racine d'une équation algébrique, et nous ramenons l'é- 

 quation différentielle à la formule simple 



(^) -dc= -t 



» Les propriét-és de l'équation (2) dépendent principalement du coeffi- 

 cient a de la première puissance de Ç dans le développement du numéra- 

 teur. Nous démontrons d'abord que, lorsque le coefficient n'est ])as entier 

 positif, l'équation (2) admet une intégrale monodrôme s'annulant avec t. 



» Si le coefficient a a sa partie réelle positive, l'équation différentielle 

 admet en outre une infinité d'autres intégrales non monodrômes, et telles, 

 que chacune d'elles prend une infinité de valeurs différentes, quand la 

 variable t tourne autour de i = o. 



» Lorsque le coefficient a est entier positif, on peut, par une trans- 

 formation convenable, ramener l'équation au cas où ce coefficient est égal 

 à l'unité. Dans le cas où a =: i , si le coefficient b est différent de zéro, 

 l'équation n'admet aucune intégrale monodrôme, mais elle admet une 

 infinité d'intégrales non monodrômes, dont chacune acquiert une infi- 

 nité de valeurs différentes, quand la variable t tourne autour de < = o. 

 Lorsque b =^0 en même temps que a = i, l'équation admet une infinité 

 d'intégrales monodrômes. 



» Après avoir étudié de la sorte chacune des équations différentielles delà 

 forme (2), fournies par les différents modes de groupement et par les racines 

 de l'équation algébrique qui correspond à chacun d'eux, il est facile de 

 revenir à la fonction u. Une fonction monodrôme Ç de t donne une fonction 

 ii de z ayant q valeurs en chaque point, à moins que q := i', dans ce cas, la 



