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fonction u est aussi monodrôme. On obtient ainsi toutes les fonctions qui 

 satisfont à l'équation proposée et qui se réduisent à m, pour z = z^. 



» Il résulte de ce qui précède une conséquence assez remarquable : c'est 

 qu'une fonction peut ne pas être complètement déterminée, lorsqu'on 

 l'assujettit à vérifier une équation différentielle du premier ordre, et à 

 admettre une valeur donnée ;<, pour z = z, . Cela arrive en général lorsque 



le coefficient différentiel se présente sous la forme - pour z = a, et m = u^ . 



Car nous avons vu que dans ce cas l'équation différentielle admet en 

 général plusieurs intégrales, se réduisant à « = fi, pour z = z,. Elle en 

 admet souvent même une infinité, et alors il s'introduit une constante arbi- 

 traire dans l'intégration. 



» III. Nous examinons ensuite le cas où le coefficient différentiel que 

 nous désignons par U, est une fonction implicite définie par une équation 

 algébrique 



(3) F (z, «, U) =±: o. 



« Tant que U est racine simple de l'équation (3), c'est une fonction 

 monodrôme de s et de u; on rentre dans le cas général, et la fonction inté- 

 grale u est monodrôme. 



» Si U devient racine multiple d'ordre //, la fonction m cesse d'être mo- 

 nodrôme, et admet en général n valeurs distinctes qui se permutent les unes 

 dans les autres en série circulaire. Mais quelquefois la question est beau- 

 coup plus compliquée, et il est nécessaire de recourir à des transformations 

 qui ramènent l'équation différentielle à la forme (2) déjà étudiée. 



» IV. Nous avons appliqué la théorie dont nous venons d'indiquer les 

 principaux traits à un grand nombre d'exemples, afin de mettre en lumière 

 les propriétés si variées des fonctions définies par les équations différen- 

 tielles. Nous citerons spécialement des équations différentielles qui défi- 

 nissent des fonctions doublement périodiques de plusieurs sortes, les unes 

 monodrômes dans toute l'étendue du plan, les autres qui changent de valeurs 

 quand on tourne autour de certains points. » 



ASTRONOMIE. — De l influence des diaphragmes sur la grandeur du disque 



apparent de la Lune,- par M. Ernest Liouville. 



(Commissaires, MM. Laugier, Mathieu.) 



« Si l'on diminue, au moyen d'un diaphragme , l'ouverture de la lunette 

 employée à observer une étoile, cette étoile, au lieu de demeurer un point 



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