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TOPOGRAPHIE. — Note sur les lignes défaite et de thalweg; 

 . /)flr M. Breton (de Champ). 



« Il n'est personne qui n'ait entendu de la bouche d'un professeur, ou lu 

 dans quelque livre, que les lignes àe faîte et de thalweg (ou de partage 

 et de réunion des eaux qui coulent à la surface du sol), rencontrent à angle 

 droit les lignes de niveau, et sont asymptotes des lignes de plus grande 

 pente ordinaires. Pour les distinguer de ces dernières, on ajoute qu'elles 

 sont des lignes de pente minimum, c'est-à-dire le lieu des points où la 

 pente de la surface, suivant chaque ligne de niveau, devient un minimum. 

 Or cette proposition, dans son énoncé général, n'est pas vraie. Pour le 

 prouver, il suffit d'un exemple. . . 



» Je choisis, à cet effet, la surface engendrée par un cercle. horizontal 

 dont le centre se meut sur une hélice tracée à la surface d'un cylindre 

 droit vertical. Il est évident que la surface ainsi engendrée présente tou- 

 jours une ligne de pente minimum, correspondant au plus grand écarte- 

 ment des projections horizontales des lignes de niveau, supposées infiniment 

 peu distantes les unes des autres. Les points où ce plus grand écartement a 

 lieu sont déterminés , sur chacune d'elles , par la tangente à la projection 

 horizontale de l'hélice directrice. Le lieu ainsi obtenu des points de plus 

 grand écartement de deux lignes de niveau infiniment voisines se compose 

 de deux hélices dans l'espace, lesquelles ont pour projection horizontale une 

 circonférence de cercle de rayon \/R^ + r", R et r désignant les rayons du 

 cylindre et du cercle générateur. Cette circonférence rencontre les lignes de- 



niveau obliquement sous un angle quia pour tangente trigonométrique - et 

 qui conséquemment n'est droit que pour r = o. 



» Si l'on effectue la construction, il devient manifeste que par chacun des 

 points de cette même circonférence on peut mener la projection d'une ligne 

 de plus grande pente ordinaire, faisant avec elle un angle dont la tangente 



trigonométrique est — . D'où il résulte que dans cet exemple les lignes de 



pente minimum sont coupées par les lignes de plus grande pente ordi- 

 naires. Ainsi la proposition énoncée ci-dessus est en défaut. 



» On peut remarquer qu'il existe, pour le cas où l'on a r < R, deux 

 hélices qui rencontrent à angle droit les lignes de niveau. Elles ont pour 

 projection horizontale une circonférence de rayon \JR^ — r*. Ces deux hé- 



