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CALCUL INTGRAL. Mmoire sur un thorme fondamental , dans le calcul 



intgral; par M. A. Cauchy. 



Dans la thorie des quations, les gomtres ont avec raison consi- 

 dr comme foruiamentale la question de savoir si toute quation a une 

 racine. Pareillement, dans le calcul intgral, une des questions les plus 

 importantes , une question fondamentale consiste videmment savoir si 

 toute quation diffrentielle ou aux drives partielles peut tre intgre, 

 et si un systme de semblables quations peut l'tre pareillement. Or, ce 

 quia droit de nous surprendre au premier abord , c'est que, malgr les nom- 

 breux travaux des gomtres sur le calcul intgral , cette question si im- 

 portante ne se trouve nulle part rsolue dans toute sa gnralit. A la v- 

 rit l'existence des intgrales gnrales des quations diffrentielles, qui 

 renferment une seule variable indpendante, se trouve maintenant tablie 

 par deux mthodes diverses que j'ai donnes, la premire dans mes leons 

 l'cole Polytechnique, la seconde dans un Mmoire lithographie de i835. 

 la vrit encore l'existence des intgrales gnrales des quations aux 

 drives partielles se trouve tablie dans certains cas o l'on parvient in- 

 tgrer ces quations, par exemple, lorsqu'elles se rduisent soit une seule 

 quation du premier ordre, soit des quations linaires dans lesquelles 

 les coefficients des inconnues et de leurs drives demeurent constants. 

 Mais un systme quelconque d'quations diffrentielles ou aux drives 

 partielles admet-il toujours un systme correspondant d'intgrales gn- 

 rales? Tel est le problme dont la solution m'a paru digne de l'attention 

 des gomtres Cette solution repose sur des considrations que je vais in- 

 diquer en peu de mots. 



Depuis longtemps les gomtres, en supposant, sans le dmontrer, 

 que toute quation diffrentielle ou aux drives partielles admet une int- 

 grale gnrale , ont regard la formule de Taylor comme im moyen de d- 

 velopper cette intgrale en une srie ordonne suivant les puissances as- 

 cendantes et entires d'un accroissement i attribu une variable indpen- 

 dante t, qui peut tre cense reprsenter le temps. D'ailleurs, l'aide d'un 

 thorme gnral que j'ai donn en i83i , et qui est relatif au dveloppe- 

 ment des fonctions, l'on peut s'assurer que,dans le cas o la srie obtenue 

 est convergente, la somme de cette srie vrifie, comme intgrale, l'qua- 

 tion diffrentielle ou aux drives partielles, au moins pour des valeurs nu- 

 mriques ou pour des modules de l'accroissement i, qui ne dpassent pas 



