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dans les intgrales dfinies, et inii'oduites par l'intgration. Pour effectuer cetle diei'* 

 mina tien, il tait d'abord ncessaire de trouver une formule qui pt servir transformer 

 une fonction donne en une somme d'exponentielles compose d'un nombre finiou inlini 

 de termes. La premire formule de ce genre a t donne parLagrange dans le tome III 

 des anciens Mmoires de Turin, publi en 1776. Cette formule conveitit une fonction 

 d'une seule variable en une somme d'exponentielles imaginaires, seulement pour toutes 

 les valeurs numriques de cetle variable infrieures une limite reprsente par le 

 nombre 1. Mais il suffit de changer l'unit l'aide de laquelle on suppose les variables 

 exprimes, pour que la limite i se trouve remplace par une limite quelconque , qui 

 peut crotre indfiniment et devenir infinie. A l'aide de cette seule observation, on peut, 

 de la formule de Lagrange et d'une formule analogue donne par Euler, tirer celles 

 que M. Fourier a obtenues dans son premier Mmoire sur la thorie de la chaleur. 

 D'autres formules du mme genre, mais qui, pour la plupart, peuvent aisment 

 se dduire de celles de M. Fourier, ont t successivement tablies par les go- 

 mtres, et appliques diverses questions de physique mathmatique. On peut voir 

 en particulier ce sujet, les Mmoires de MM. Poisson et Cauchy sur la thorie des 

 ondes, un Mmoire de M. Fourier sur les vibrations de plaques lastiques, le xix' 

 cahier Ayx Journal de l' cole Polytechnique, divers articles insrs dans le II* volume 

 des Ex(ircices de Mathmatiques, etc. 



Dans les problmes de physi(|ue et de mcanique, et dans le cas o l'espace auquel 

 s'tendent les quations du mouvement reste indfini, la question rsoudre tait g- 

 nralement la suivante. 



Etant donne entre une inconnue et plusieurs variables indpendantes, qui ordinaire - 

 ment reprsentent trois coordonnes et le temps, une quation aux drives partielles et 

 coefficients constants, avec un dernier terme fonction des variables indpendantes, 

 intgrer cette quation de manire que les valeurs initiales de l'inconnue et de ses dri- 

 ves prises par rapport au temps, se rduisent des fonctions connues des coordonnes. 



Tel est le problme que l'auteur des Exercices s'est propos et a rsolu dans ses M- 

 moires du 8 octobre 18211 et du 16 septembre 1822. (Voir le Bulletin de la Socit phi- 

 lomathiqueei le xix' cahier du Journal de l'cole Polytechnique.) Il a prouv, dans ces 

 Mmoires, qu' l'aide des formules de transformation ci-dessus rappeles , et relatives 

 aux fonctions de plusieurs variables, ou plutt l'aide d'une formule du mme genre qui 

 renfernje sous le signe y" une seule exponentielle trigonomtrique, on pouvait ramener 

 la solution du problme gnral au cas oi le temps est la seule variable indpendante , 

 c'est- -dire au cas o l'quation aux drives partielles se trouve remplace (.ar une 

 simple quation diffrentielle. La dtermination des fonctions arbitraires s'est ainsi 

 trouve rduite une dtermination de constantes arbitraires qui exigeait quelques arti- 

 fices de calcul dans le cas o l'quation auxiliaire offrait des racines gales , mais que 

 l'auteur a fini par rendre trs-facile dans tous les cas et mme par supprimer entire- 

 ment, l'aide du calcul des rsidus. C'est ainsi qu'en perfectionnant de plus en plus la 

 mthode expose dans les Mmoires de 1821 et de 1822, l'auteur des Exercices est par- 

 ven u une formule trs-simple et facile retenir, qui sert exprimer par une intgrale 

 dfinie multiple la valeur de l'inconnue propre vrifier une quation linaire aux d- 

 rives partielles et coefficients constants, dans le cas mme o cette quation contient 

 un dernier terme fonction des variables indpendantes. (Voir le Mmoire sur iapplica- 



