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fonction X devienne un maximum ou un minimum, parla dtermination 

 donner aux fonctions x, et m.; mais ce n'est pas la considration dont 

 nous voulons suivre les consquences. En liminant dK de la premire 

 formule l'aide de sa valeur, on a l'quation 



; = F'(a:,) + tt,F'(X): 



ainsi en dterminant les X, a",, m, qui sont au nombre de \ -\- lu par les 

 quations drives du premier ordre 



iX' = 2 UiX[ 4- F (X, X, X,,..., x, u,,..., ), 

 ; ='(x,) +,F'(X), 

 x;=:-F\u.), 



o l'on emploiera pour /tous les entiers i, 2,. . ., nj les fonctions prove- 

 nant de l'intgration complte des quations (2) satisferont l'quation 



(3) A(J^ X 2 M.cTa:.. ) = constante = A(J'X 2 w^cTar?), 



formule dans laquelle on dnote par X, x% u% les valeurs des variables 

 rpondant une grandeur donne j? = O"' de l'indpendante x. 



Les quations (2) tant intgres, fourniront toutes les fonctions va- 

 riables l'aide de 2/2 -j- i constantes arbitraires a, a. . ., a, et de x, et 

 spcialement les fonctions X, a:, : en posant, dans ces w+i fonctions, 

 x = x, on aura X", et les x par i-f- ra quations : de ces an -j" a formules 

 on liminera les a, a,,. . .,,, et l'on obtiendra enfin une expression de X 

 (l'une composition particulire, et forme la manire de M. Hamilton , 

 savoir : 



' i \o 'r- t" t" 



laquelle tant diffrentie par $^ qui laisse toujours x invariable , donne 



J^X = 24' (x,) cTa:, H- 2 4' {x^^i^x". + 4' (X") TX. . 



Cette valeur de cTX, substitue dans l'quation (3), permettra la comparai- 

 son des termes affects des mmes variations, et il en rsulte des quations 

 de la forme 



j 4' (^.) - . = o, A4' (a:) H- ? = o, 

 (^^ . A4'(X0-A =0, 



