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independantesdecettequantite, on pourra faire decroilre 

 y jusqu'a zero sans changer les valeurs des coefficients, ce 

 qui fait disparaitre toute la serie descendanle et reduit 

 le developpement a 



fx*=f(o) H- y / H- T^/ -*- etc., 



qui n'est autre chose que le theoreme de Maclaurin. 



Si on donne a x, et par consequently, une valeur com- 

 prise entre R et 1'infini, on pourra faire croitre y jusqu'a 

 cetle extreme limite, et en remetlant le developpement de 

 /x sous la forme (5), il est visible que les facteurs l - , l - t .... 

 feront disparaitre tous les termes de la serie ascendante, 

 et qu'il ne restera que des termes de la serie descendante. 

 Enlin, pour des valeurs de x comprises entre r et R, aucune 

 des deux series ne disparaitra en general. On voit done 

 qu'une function pc'riodique et continue est de'veloppable 1 en 

 une serie ascendants ; 2 en unc serie descendanle; et 5 en 

 deux series, I'une ascendante, Paul-re descendante, suivant 

 que la variable se trouve comprise 1 entre zero et la plus 

 petite valeur correspondante a une solution de continuile , 

 2 enlre la plus grande de ces valeurs et 1'inpni, et 5 en Ire 

 la moindre et la plus grande de ces valeurs. 



11 suit de la qu'une fraction ralionnelle est toujours de- 

 veloppable en serie, suivant les puissances entieres de la 

 variable, et fjue cette serie sera ascendante, descendante ou 

 a la fois ascendante et descendante, selon que la variable 

 sera comprise entre zero et la moindre racine du de'nomina- 

 leur, enlre la plus grande racine et 1'infini, ou enlre ces deux 

 racines extremes. 



Si on se proposait de reconnaitre la possibilite de de- 

 velopper une fonction don nee fx suivant les puissanrevS 



