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entieres, non de la variable x, mais d'une fonction <p de 

 celte variable, en egalant a z cette derniere fonction , on 

 tirerait de cetle equation la valeur de x en z , et en la sub- 

 stituant dans/#, celle-ci deviendrait une fonclion Fde z, 

 qui pourra etre devcloppee suivant les puissances entieres 

 de z ou de yx , si z remplit les conditions voulues de 

 continuite et de periodicite. Celte remarque conduit au 

 developpement suivant les puissances entieres et frac- 

 tionnaires de la variable, de certaines fonctions pour les- 

 quelles la condition de periodicite n'est pas remplie, 

 comme cela arrive lorsque, dans un ou plusieurs lermes, la 

 variable x se trouve elevee a des puissances fractionnaires 

 , .... alors, en posant 



^ i < 



on pourra eliminer x, les exposants fractionnaires dispa- 

 railront dansFjs, et si on developpe cel!e-ci suivant les puis- 

 sances enlieres de z et qu'on remplace ensuite z par #% 

 on aura un developpement de fx suivant les puissances 

 fractionnaires de x. 



Supposons maintenant que la fonction f(ye ^~ l ) ne 

 soit pas periodique par rapport a 1'argument >?, c'est-a- 

 dire qu'elle ne prenne pas la meme valeur pour >? = o et 

 pour >2 = 2n. Alors le second membre de(l), qui n'est autre 

 chose que la difference de ces deux valeurs extremes de 

 f(y^~ 1 }, ne sera plus nul, mais deviendra generale- 

 ment une fonction de y que nous designerons par i/^T <?y, 

 et cette Equation (\) integr^e donnera 





