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mites, on ne peut pas affirmer que le theoreme fonda- 

 mental du calcul differentiel cesse d'etre vrai , et par con- 

 sequent, que l'inegalite(l) cesse d'exister. D'ou il suit que 

 la divergence de la serie (5) n'est pas une consequence 

 necessaire de la discontinuite de la fonction et de la de- 

 rivee. 



On voit aussi que le theoreme serai t en defaut si 1'une ou 

 1'autre des valeurs Jimites M -4- N V 1 ou w + nV 1 

 etait nulle, ce qui arriverait si la derivee de fx ne chan- 

 geait pas de signe. 



M. Schaar, agrege pres de 1'universite de Gand et repe- 

 titeur d'analyse a 1'ecole du genie civil , m'a communique 

 la demonstration suivante de cette proposition , qui est 

 remarquable par sa grande simplicite. On demontre que 

 si fx et sa derivee fx , sont finies et continues entre les 

 limites x et x H- h, la difference /( " r+ ^ ) ~ /J ' est egale a la 

 moyenne des valeurs de la derivee lorsqu'on y fait croitre 

 par degres insensibles, la variable depuis x jusqu'a x H- h. 

 Posons done 



x rcos. -f- \ sn. Q = 



et supposons que les fonctions fx et fx soient continues 

 pour Unites les valeurs du module r de x comprises enlre 

 x etX. La derivee de f(re^~ l ) , par rapport a 1'argu- 

 ment 9 etant 



on aura, en vertu du theoreme enonce, si Ton fait croitre 

 par degres insensibles i, 2i, 5i ..... ni, depuis jus- 



