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Note sur un theoreme de M. Cauchy , relatif au develop- 

 pement des fonctions en series, par M. Lamarle, pro- 

 fesseur a I'Universite de Gand. 



M. Cauchy (*) a demontre qu'une fonction quelconque 

 peut etre developpee suivant la serie de Maclaurin , tant 

 que le module de la variable reste moindre que la plus 

 petite des valeurs pour lesquelles la fonction ou sa derivee 

 cesse d'etre continue. 



Get enonce nous parait devoir etre rectifie , les condi- 

 tions qu'il exprime pechant a la fois par exces et par 

 insuffisance (**). 



On sait que , dans tout intervalle oil la fonction varie 

 sans solution de continuite, Fintegrale demeure continue, 

 et que si celle-ci est developpable en serie convergente , 

 ordonnee suivant les puissances entieres et positives de 

 la variable, la fonction Test egalement. La condition de 

 continuite semble done surabondante en ce qui concerne 

 la derivee. D'un autre cote, la fonction et sa derivee 

 peuvent etre continues sans que le developpement soit 

 possible : nous citerons pour exemple les fonctions 

 #1 , oPlx , etc. II y a done aussi defaut par omission de 

 quelque circonstance essentielle. 



(*) Exercices cT analyse et de physique mathe'matiques . 1840-1841. 



(**) Nous n'admettons pas que la continuite proprement (lite doive etre 

 cousideree corame impliquant ime certaine periodicite de la fonction. Autre- 

 ment il serait inexact de dire que les conditions de 1'enonce sont insuffisantes. 

 mais il y auraitune raison de plus pour affirmer qu'elles pechent par exces. 



