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Le but de cette note est de resoudre les doutes que la 

 question souleve. 



Precisons d'abord ce que nous entendons par fonction 

 continue. 



Etant donne f(x) rempla^ons x par (*) re * / ~ ! , et, met- 

 tant en evidence les parties reelles et imaginaires, eflec- 

 tuons leur separation dans 1'equation symbolique , 



(1) 



concevons en outre que 1'argument varie de zero a 2r. 



Gela pose, si les fonctions ? (r,0), ^(r,0) restent finies et 

 reelles , et qu'elles ne changent point brusquement de de- 

 termination numerique , pour toutes valeurs du module 

 comprises entre deux limites choisies comme on voudra , 

 [(x) est et demeure continue entre ces memes limites. Dans 

 le cas contraire , il y a discontinuite. 



La separation effectuee dans 1'equation (1) peut offrir 

 quelque difficulte. Neanmoins , il n'est pas douteux qu'elle 

 ne soit toujours possible. S'agit-il seulement des fonctions 

 developpables en serie convergente , d'apres la formule de 

 Maclaurin? Rien de plus simple que de constater a priori 

 la possibilite de cette separation. On a en eflet , 



f(x) = a -4- bx + ex* H- etc ..... (2) 

 de la resulte 



f(re ) = a H- br cos. -h cr 2 cos, 20 H- etc. 

 -f- V 1 [r sin. -f- cr 2 sin. 20 -4- etc.]. 



O Le module r csl, par hypothcse, essenliellement positif. 



