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? (r. 0) = a-t-&r cos. 6 -+- cr 2 cos. 20 -H etc. . (8) 

 & (r, 0) = br sin. -h cr 3 sin. 20 4- etc. . . . (-4). 



On voit d'ailleurs que la convergence de la serie (2) , 

 ou x est supposee reelle , entraine celle des series (5) et (4), 

 et par consequent la continuite des fonctions <p(r, 6), <f(r, 0) 

 pour toute Fetendue de Fintervalle precedemment indique. 



Cette simple remarque suffit pour elablir a priori que 

 la continuite doit subsister a partir de r = o dans toute 

 fonction developpable en serie convergente , ordonnee 

 suivant les puissances entieres et positives de la variable. 

 Constatons en outre que, pour toute fonction de cette na- 

 ture, on a toujours et necessairement , 



? (r,o)== y(r,2a-), ^ (r, o)= >j> (r, ST). 



Voila done une condition nouvelle , reconnue tout d'a- 

 bord indispensable. Elle consisle en ce que les fonctions 

 y(r,0), 0(r, 0) sont assujetties a reprendre les rnemes va- 

 leursaux deux limites 0=o,0=27r. Reduitea ces termes, 

 elle resteessenliellementdistincte des caracteres propres a 

 la continuite. Elle n'est point d'ailleurs surabondante. Soil 

 en effet f(x) = x* , Fon a 



f (r, e )= r 1 cos. I 0, ^(r, 0) = r^ sin. f 0. 



et,bienque la fonction soit continue, ainsi que sa derivee, 

 pour toute valeurdu module, neanmoins ledeveloppement 

 demeure impossible. La premiere condition n'est done pas 

 suflisante. 





