Faisons = o et = 2rc , nous aurons , 



3 s 



? (r,o) = H-r*, ? (r,2:r)= r*, 



et, comme ces valeurs sorit diffe'rentes, 1'impossibilile du 

 developpement se trouve demontree. 



En reslreignant au plus petit nombre possible les con- 

 ditions que doit remplir une fonction pour etre develop- 

 pable en serie convergente, suivant la formule de Maclau- 

 rin, nous voyons, d'apres ce qui precede, qu'il en faut au 

 moins deux; 



La premiere, c'est que la continuite subsiste a partir de 

 r = o, pour toute valeur du module inferieure a R : 



La seconde, que, dans cet intervalle , chacune des fonc- 

 lions 9 (r, B) , $ (r, 6), prenne pour = %r. la meme va- 

 leur que pour Q = o. 



Ces conditions necessaires etant supposees remplies, il 

 nous reste a demontrer qu'elles sont suffisantes. 



Soil 



= ? (r, 6) +]/-!. t(r,Q). 



Admettons d'abord qu'entre deux valeurs de r, conve- 

 nablement cboisies, la continuite subsisle, et que Ton ait 

 en meme temps pour toute valeur du module comprise 

 dans cet intervalle, 



La derivee de la fonction f(re^~ l ) , prise par rapport a 

 1'argument 6 , est 



,_ 



rvle f (re ). 



TOME XHI. 36 



