( 529 ) 



De la resulte en prenant les derivees de Tordre n par 

 rapport a r, 



f*X 



1.2.3 ____ .C=y ^( 



puis, faisant r = o, cequi est permis, puisque la valeur 

 du second membre est independante de r 



-** f " (0) 



' ' 



En transportant cette valeur dansl'equation(12), on trouve 

 immcdiatement 



M = f(<>) -*- y f'(o) -*- y^ /' W etc - 



Le meme resultat s'obtient avec une egale facilite , lors- 

 qu'on applique a Fequation (12) le procede d'une suite de 

 derivations effectuees sur la variable z. 



La serie (12) etant deraontree convergente pour une va- 

 leur de z , aussi rapprochee qu'on voudra de R , il en re- 

 sulte qu'elle ne peut cesser de Tetre pour aucune valeur 

 plus petite. II n'est done pas de valeur, inferieure a R, qui 

 puisserendre/'^) iniinie, car la convergence de la serie 

 implique celle de sa derivee. 



Resumant ce qui precede, nous sommes en droit de con- 

 clure que les deux conditions , reconnues d priori neces- 

 saires pour la possibilite du developpement, sont en meme 

 temps suffisantes. 



En consequence, nous enoncerons comnie il suit le 

 theoreme qui fait 1'objet de cette note : 



