( 530 ) 



Toute fonction est developpable, suivant la serie de Ma- 

 claurin, tant que le module de la variable reste moindre que 

 la plus petite des valeurs pour lesquelles la fonction cesse 

 d'etre continue ou de prendre meme valeur aux deux limi- 

 tes0 = o, = 27:. 



Ce theoreme s'etend de lui-meme au developpement 

 des fonctions suivant la serie de Taylor. En effet , si Ton a 



=x -f- Y / *- Ti / *- etc. 



I . J 



etque, considerant h comme variable, Ton pose 

 F(A) =/(* + *), 



il en resulte immediatement , 



F(A) = F(o) -h Y F'(o) + ^1 F"(o) -f- etc., 



c'est-a-dire la formule de Maclaurin. On voit done que, pour 

 appliquer 1'enonce precedent a la serie de Taylor, il suffit 

 de substituer f(x+h) iaf(x) etd'y trailer h comme variable. 

 La condition relative aux limites 6 = o, 6 = %n etant 

 supposee remplie, il peut arriver que la continuite cesse 

 alors que le module s'annule. En ce cas, si Ton prend 

 au lieu de la fonction, le produit de cette fonction par 

 une certaine puissance entiere de la variable , et que Ton 

 pose par exemple , 



*"/W = ?(*). 



la premiere condition ne cessera pas d'etre remplie. On voit 

 en outre que y(x) sera continue en meme temps que f(x) 



