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n'est point particuliere a certaiues fonclions; elle est lout 

 a fait generale, et il importe de Ic demontrer. 



Soil X urie fonction quelconque supposee telle que pour 

 loule valeur de x comprise entree et# m , la derivee X' ne 

 cesse pas d'etre nulle. Soit d'ailleurs x n une valeur inter- 

 mediaire. 



Par cela seul que X n'est point une constante, mais bien 

 une quantite variable avec x, la valeur x n peut toujours 

 etre choisie de maniere a ce que, substitute dans X, elle 

 donne un resultat different de celui qui repond a# . Desi- 

 gnons par 'X n et X ces resultats respectifs, supposes difle- 

 rents 1'un de J'autre. 



Considerant la fonction 



/ x 



^ ( X) , 



nous remarquons : 



1 Qu'elle prend meme valeur aux deux limites x , x,,\ 

 2 Que dans I'hypothese X'=0, elle a pour derivee 



Cetle derivee etant positive ou negative suivant que Ton a 

 X n < ou > X , la fonction dont elle precede est, dans la 

 meme hypothese, croissante ou decroissante. Cela pose, 

 il est manifesto que, si la derivee X's'annulait constam- 

 ment pour toute valeur de x comprise enlre x et x n , la 

 fonction y(x) ne cesserait pas de croitre toujours ou de 

 toujours decroitre dans ce meme intervalle. Mais telle n'est 



pas la marche de cette fonction, puisqu'elle prend meme 



' 



