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Note sur la convergence de la se'rie de Taylor, par 

 M. Lamarle, professeura 1'Universite de Gand. 



Dans une note , publiee recemmenl (*) , nous avons pre- 

 cise les caracteres distinctifs que toute fonclion presente, 

 selon qu'elle est, ou non, developpable en serie conver- 

 gente d'apres un des types reductibles aux formules de 

 Taylor ou de Maclaurin. La demonstration que nous 

 avons donne'e du theoreme developpe dans celte note peut 

 etre simplified. Tel est le but que nous nous proposons , 

 en indiquant un autre procede plus direct et plus elemen- 

 taire. 



Rappelons d'abord les principes sur lesquels nous nous 

 appuierons. Voici en quoi ils consistent : 



1 Dans tout intervalle ou la fonction demeure continue, 

 sou accroissement a pour mesure 1'accroissement de la 

 variable , multiplie par la valeur moyenne de la fonction 

 derivee (**) ; 



(*) Voir les Bulletins de l'4cademie royale de Pelgique^ tome XIII , 

 n 6 , page 520. 

 (**) Cet enoncesetraduit algebriquement de la maniere suivante: 



On entend par valeur moyenne [M* F' (x)] , la limite vers laquelle converge 

 la moyenne arithmetique 



F' (a +- h) -f- F' (a -t- 2/t) -t- etc. -+- F' (a -t- mh) 



h ayant pour valeur - et m croissant inden'niment. 





