THEORIE DES RESIDUS QUADRATIQUES. 31 



24). Liquation (65) est une consequence immediate d'un theori-inr 

 qui est Ic complement du theoreme demontre dans le n 7). En eff'et, p 

 etant au nombre de la forme 4w -f- 1 ? on peut partager les n'sidns et 

 les iKiii-ivsidus en deux groupes, de maniere que les deux residus ou 

 les deux non-r&sidus r et p r ne soient pas contenus dans le meme 

 groupe. Le premier groupe des residus contiendra done ^- termes , 

 que je designerai par 



a,, a,, .... a 



PI 



et le premier groupe des non-residus contiendra aussi - - termes , que 

 je designerai par 



* 



Dans le n 4) il a ete demontre que, pour les nombres jo=4m-j- 1, les 

 combinaisons des residus contiennent ^j- fois la valeur z,e>o, et que les 

 autres combinaisons sont formees par les residus et les non-residus. 

 Maintenant je dis : si 1'on prend les differences des residus, une partie 

 de ces differences prises une a une sera congrue, abstraction faitedu 

 signe , aux combinaisons qui ne sont pas egales a zero , et le reste des 

 differences sera egal aux residus ou aux non-residus contenus dans 1'uii 

 des deux groupes, selon que le nombre p est dela forme 8m -{- 1 ou de 

 la forme 8m + 5. En effet on demontre, comme dans le n 7), qu'a cha- 

 que combiuaison , qui n'est pas egale a zero, il correspondra une diffe- 

 rence. Mais aux combinaisons a, -J- (p a,) = 0, etc., repondront 



les ~- differences 



", (p a ,) = 2a ,. 



(7, (p ,)==*20, . 



a -- (p a ) s= 2a 

 iii vr i' it t 



done si le nombre p est de la forme 8 -f- 1 , le nombre 2 sera un 

 sidu, et les nombres 2a,, 2a 2 2ap^ seront congrus aux termes con- 

 tenus dans 1'un des deux groupes de residus. Mais si le nombre p est 

 = 8n -f- 5 , le nombre 2 sera un non-residu , et les nombres 2er, , la,. . .'. 



