SUR LES FONCTIONS ARBITRAIRES. 47 



d'oii il suitque la valeur de I'int6grale (50) sera ./ > ou -- \7=^> Sl "~ 

 \ ;in I que a sera positif ou ndgatif. 



On embrasse A la fois le cas de a positif et de a n^gatif , en mettant 



I Vi | n,i i inn (50) sous la forme 



nV-\ 



de sorte que pour a positif, on aura _ et pour a ndgatif, -- -'=. 

 Si la limite infe>ieure de I'inte'grale (50) est --QO , on obtiendra 



f- ax \/. /l,,i/rT. /'Lri/rr 2 



ie dx = I e d.r =r 2 / dx = - - 



J J ' aV \ 



OB 0> O 



Si a est ne'gatif, il viendra 







. 



. :7 



Soil cette autre intdgrale 



(si). ...... r 



9S 



O 



Si k est positif, on aura 



oo 



/-(-t-4l/ZTi 

 k(a-t-b[/ I) 



et pour A ne'gatif 



ax = 



/'* df= I c V ~ l d!=- = = =, 



/ k(b-aV-\) *(n-t-tl/~l) 



ce qui montre que la valeur de I'inte'grale (51) change de signe avec k. 



Pour obtenir une autre int^grale de la meme espece, et qui nous 



conduira a la formule cherch^e de M. Cauchy, multiplions les deux 



