SUR LES FONCTIONS ARBITRAIRES. 57 



I cnlin 



tjBtii. Jb y = i[y->- ?(-/)]; 



ce qui cst la valour du second inembre dc 1'equution (64) lorsque x=l; 

 si Ton f'uit #= /, les calculsne diiTereront pas des pr6c6dents, et 

 Ton trouvera le memo rrsultal. 



On voit done que pour x = I, les deux mernbres de la formule (62) 

 ne sont identiques que si y/= y( /); si yx est une fonction impaire, 

 la quantity i[y/ + 9( /)] sera nulle, et par suite la formule (62) ne 

 sera vraie pour x = /, dans ce cas, qu'autant que la fonction <fX 

 devient nulle pour ces valeurs extremes. 



Si dans (62) yx est nulle depuis x = o, jusqu'a x= /, les limites 

 des integrates relatives a se r^duiront a o et /; on aura alors la formule 



i r i v- /' 



V* W / ?<*<** *- J *,/ 



.(*-) 



?* COS - ' -- -. - 



qui a lieu pour des valeurs de x entre o et /; mais qui ne donnera que 

 la moitie des valeurs de yx , quand on fera a; = o et x = /. 



Si dans cette formule on change x en x , on aura la suivante 



i 



i r , i _. r .*(*+*), 



o=-/9>atte-t--2 1 I fa. COS. t da. , 



o o 



qui sera nulle pour des valeurs de x entre o et I, et qui, pour ces 

 dernieres valeurs, ne donnera que la moitid de yx ; done, si 1'on ajoute 

 cette Equation a la prc6dente , 1'^quation resultante 



i i 



1 r a v* r '** ** j 



(65) . . . . yor = I yt d* -\- 2,/ya cos. t cos. t ax, 



o o 



subsistera pour toutes les valeurs de x entre o et /, et meme quand .P 

 sera gal a ces limites; ensuite, si on les retranche, on obtiendra 



/ 

 a . . r f . ** , 



(0) 5^ = - 2, sin. / yasin. dx; 



r 1 1/ / 



. ftilH^i/ U ,uJH.i 

 equation qui a lieu pour des valeurs de x entre o et /, mais qui ne sub- 



siste, pour ces valeurs extremes, qu'autant qu'elles font evanouir yx. 

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