SUR LES FONCTIONS ARBITRAIRES. 61 



(Hanouir la fonction fx. Pour #< lei x>l, le second membre de 

 cette formule est toujours nul. Cherchons quclle quantity il f'aut ujouter 

 A son second membre pour qu'elle subsiste encore lors m6me que fx 

 ne devient pas nulle pour x = o et x=* L Cette quantite* doit 6tre nulle 

 quand x est entre o et /, et donner f(6) et f(l) pour x = o et x = I. Si 

 dans la formule (69) on remplace fx et fa. par x et , on aura 



i 



9 . .irsf * a , 



= - Z, sin. i / a. sin. i - da; 



en effectuant 1'inte^gration indique"e, il vient liquation 



2' (1)' TZ 



(70) ........ =- -2, ir^, sin. , 



T t / 



(lout les deux membres sont identiques quand x est compris entre o et / 

 ainsi que pour x=o, mais dont le second membre seul devient nul 

 pour x = / et x >/; de 1A il suit que 1'expression 



nt\ x 2 v (~ 1 )' ** 



71 ) ........ T -+- -2, - r -sin. i 



/ T 



, 



/ 



est nulle pour toutes les valeurs de x } depuis x = o, jusqu'A x<. I; pour 

 x l } elle se n'-duil & I'unit6, et comme le second terme disparait pour 

 a? >/, elle se re"duira dans ce cas a |. Cela pos6, si dans (71) on change 

 x en / x , on aura la nouvelle expression 



sD . 



qui sera nulle quand a? sera compris entre o et /, ainsi que pour .r == /; 

 mais pour x=o, elle se ivduit a 1'unitdj or, si 1'on observe que 



. 



sin. t 



(f \t 

 -l).>m. T , 



1'expression prec^dente deviendra 



