74 MEMOIRE SUR LES FONCTIONS ARBITRAIRES. 



subsistera pour toutes les valeurs de x entre /3 et /3'; mais pour ces limites, cela n'aura 

 lieu qu'autant qu'aux points contigus des trois courbes que represented les termes de la 

 premiere formule , il y aura une tangente commune a deux courbes. Ce qui exige qu'on 

 ait les nouvelles conditions <p'p = i|/'/3, y'.6' = $'/3'. 

 Si nous considerons la formule 



B' 

 <?x =*= / /' pa cos. p (x a) dpdx 



T i/ ./ 



/ 2 / > sin.n(/3 a;) , \ 



-t- i f /3 1 -+- / P ' dp] 



\ 7T / p j 



O 



, I 2 S^in.pSQ'x) , \ 



+ ij^T1 / -*], 



\ xJ p I 



a 



qui a ete donnee dans le n X, sa derivee subsistera pour les abscisses x=(3 etx = fi', si 

 les paralleles a 1'axe des x representees par les equations y = y/3 et y = <f@! sont tangentes 

 a la courbe a ses extremites; ce qui exige qu'on ait les conditions y'/3 = o, y'/3' = o. 



On peut conclure de ce qui precede, que 1'equalion (2) subsiste pour toutes les valeurs 

 de x pour lesquelles 1'equalion (1) a lieu; si celle-ci est vraie aux limites, 1'equation (2) 

 ne subsistera a ces limites qu'autant que certaines conditions seront remplies. Si la pre- 

 miere n'a pas lieu pour ces valeurs extremes , le coefficient differentiel <p'x sera infini pour 

 les memes valeurs. 



Supposons maintenant que Ton integre les deux membres de la formule 



(8) fjr ^ ~ I I - r a cos. p(x a) dpdx. , 



'" & 



par rapport a x, on obtiendra la suivante : 



x, B' 



/j / > / sin. ptx a) 

 ,xdx = - / / ? . - dpdx, 

 *Z '/ f 



qui exprime 1'aire de la courbe y = yx, prise jusqu'a une abscisse quelconque x entre 

 /3 et /3'. Si Ton prend cette aire jusqu'a 1'une des abscisses extremes x = /3, x=fi', la for- 

 mule (4) subsistera pour ces valeurs, quoique la formule (5) ne subsiste pas pour ces va- 

 leurs limites; ce qui resulte immediatement du lieu geometrique de 1'equation (5). 



Les consequences que nous venons de trouver relativement a la formule de Fourier, 

 subsistent pour toutes les formules de la meme espece que nous avons fait connaitre dans 

 ce memoire; et comme les raisonnements qu'il faudrail faire pour le demontrer ne diffe- 

 rent pas des precedents, je crois inutile d'entrer dans plus de delails. 



FIN. 



