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[INTRODUCTION. 



Les integrates deTmies que M. Gauss a trouv^es dans le 356 de ses 

 Recherches arithm^tiques, appartiennent aux plus beaux corollaires de 

 la the"orie de la division du cercle. Elles sont contenues dans le the"o- 

 reme suivant. Si Ton d^signe par 2 cos. a. et 2 sin. a. ^ la somrae des 

 valeurs qu'on obtient, en mettant successivement a la place de a tous 

 les r^sidus quadratiques du nombre premier p , on aura 



2 T 2x /r />i"i 



) Scos.o. -i- V l.Ssin. a. = i \/ U( I)" 5 " 



P P V L J 



Mais 1'ainbiguite 1 du signe n'est qu'apparente , et sa determination con- 

 stitue un autre thdoreme que M. Gauss a trait dans un meinoire par- 

 ticulier. II y montre par des recherches tres-profondes qu'on doit 

 toujours prendre le signe supe>ieur. Plus tard, MM. Dirichlet et Cauchy 

 sont parvenus au meme r^sultat en s'appuyant sur les considerations 

 les plus d6licates de 1'analyse infinitesimale. Quant au th^oreme 51) qui, 

 consider^ en lui-meme, est deja tres- important, parce qu'il conduit 

 immediatement au th4oreme fondamental de la th&me des r^sidus 

 quadratiques (*), M. Libri en a deja donn^ une demonstration tres-sim- 



(*) Theorie des nombres, I. II , p. 391 . 



