THEORIE DBS RESIDUS QUADRATIQUES. 7 



sivement par tous les r^sidus, et les produits a u o, , a,, a 2 ... fournirunt 

 tous les r< -siil i is. Ainsi, tous ccs rsidus seront congrus in la somme de 

 deux nvMilus. On ddmontre do la im'-mr maniere que les combinaisons 

 doivent contenir tous les non-rdsidus, si elles en contiennent un cer- 

 tain. 



Maintenant, si un residu ou un non-rsidu quelconque est contenu 

 / fois parmi les combinaisons des r^sidus , il faut que les autres rsidus 

 ou les autres non-rsidus y soient contenus autant de fois. Car suppo- 

 sons, par exemple, que le nombre dy soil contenu trois fois, de maniero 

 qu'on ait 



u, -H a, = <i 



a, -t- a (/ == d 



a >,,+ = d - 



Multiplions ces congruences par le re\sidu a r et supposons a r d= d , 

 les nombres d et d seront tous deux des r^sidus ou des non-r6sidus, et 

 le nombre d sera contenu au moins trois fois parmi les combinaisons. 

 Mais il ne peut y etre contenu plus de fois. Car, supposons qu'on eut 

 les quatre congruences 



(C) 



-t- a/, = d, 



a. -t- OA ^ d, 



K 'rr /// 



. . 



on pourrait toujours trouver un rdsidu a u qui satisfit a la congruence 

 a u d,=d, et, en multipliant les quatre congruences (C) pat a Ui on en 

 d6duirait quatre autres congruences , qui montreraient que les com- 

 binaisons contiennent quatre fois le nombre d, ce qui est contre 1'hy- 

 pothese. 



La somme des combinaisons des residus peut done etre repr6sente"e 

 par 



9(0, -+- a, -4- .... -t-oj --r (b, -+-i, --.... - frj, 



