8 RECHERCHES SUR LA 



* 



et Ton voit aise"ment que , dans ce cas, la somme des combinaisons des 

 non-residus sera 



r(a, + a, -+- .... -t- ) -t- q (6, -i- b, -+-....-+- b n ). 



D'ailleurs le nombre des r^sidus ou des non-residus etant^-, et le 

 nombre des combinaisons = r - . ^^ , on a 



3) Si p est un nombre de la forme 8m -f 3 , on a 



q = m , r = ni , 



mais s'il est un nombre de la forme 8m + 7 , on a 



Repr^sentons par et a/ des re"sidus quelconques , par /3 et /3 / des non- 

 r^sidus quelconques , par (AB) le nombre des solutions de liquation 

 +l = / , par (A A.) le nombre des solutions de 1'^quation -j-l:=/3, 

 par (BB) le nombre des solutions de 1'equation /3+l=, et par (BA) 

 le nombre des solutions de 1'^quation /3+ 1 =/3,. Au lieu de liquation 

 +l= / ou + 1 / := 0, on peut prendre la congruence 



a-+-/3-4-l = ( mod. p ) , 



parce qu'on peut toujours trouver un nombre /3 qui satisfasse a liqua- 

 tion p ,=P, ainsi (AB) est le nombre des solutions de la congruence 

 -(-/3+l=0, et 1'on trouve par la mme consideration que (AA), (BA), 

 (BB) repre"sentent les nombres des solutions des congruences + +1 



On aura done 



(AB)= (BA), 



et comme chaque r^sidu doit ^tre suivi imm^diatement d'un residu ou 



