THEORIE DES RESIDUS QUADRATIQUES. 11 



la forme 8m + 3 et un non-rsidu des nombres premiers de la forme 

 8m -f- 7. Car nous avons prouv6 que la congruence 1 + 1 -j- ft == est 

 ou n'est pas resoluble, selon que le nombre p est de la forme 8m + 7 

 ou de la forme 8w + 3; main tenant /3 ne pouvant etre 6gal qu'au nom- 

 bre 2, il s'en suit que 2estunrsidu ou un non-r6sidu, selon que 

 p est de la forme 8m + 3 ou de la forme 8m -f 7. 



4) Sip est un nombre premier de la forme 4m + 1 > les combinaisons 

 des re'sidu's ou des non-r^sidus contiendront ^ fois la valeur ze>o , et 

 le reste des combinaisons sera form6 par les r^sidus et les non-r^sidus , 

 de maniere qu'elles contiendront un residu ou un non-r^sidu quelcon- 

 que autant de fois que tous les autres. 



La premiere partie de ce th<oreme est e\idente ; car la somme des 

 rrsi< 1 1 is 6tant dgale a ^ et le nombre 1 tant un n'-sid n , les deux 

 nombres a et p a se trouvent toujours ensemble parmi les rsidus 

 ou parmi les non-r^sidus, et leur somme quivaut a ze>o. Quant a la 

 seconde partie du th^oreme , on la d^montre de la meme maniere que 

 le th^oreme pr^cddent. 



On peut done repr6senter la somme des combinaisons des rsidus 

 par 



,, 0-*-g(o,-t-o, -t- -t-oj -t- r(i,-t-6,-f- -t-6 n ), 



et la somme des combinaisons des non-r&sidus sera 

 p i 



0-4-r(o,-t-o,-t- H- oj 



Le nombre des combinaisons des r^sidus ou des non-rdsidus dtant 



p i p " 



9 4 



on a 



5) Si p est un nombre de la forme 8m + 5, on a 



q = m , r = m , 



