THEORIE DES RESIDUS QUADRATIQUES. 1$ 



1 +/3 /3 (/ fi if S3 s& 1 -f +/3, et Ton obtient une semblnblc congruence 

 en multipliant la congruence /3 + /3, 1 = par /S //( . II faut seulemcnt 

 excepter le cas oil la congruence 1 -f- 1 + /3sO est contenue parmi 

 les solutions de la congruence 1 -j- + ft = 0, parce qu'il est impos- 

 sible de trouver un nombre /3 /( qui satisfasse en meme temps aux con- 

 gruences /3 r/ /3 == 1 et /3, /3, s= 1 . 



Le nombre des solutions de la congruence /3 + /3, - - 1 =0 sera done 



(AB) 1 (AB) 1 ,, .. , ,. 



-L ou = -ft-f selon que ce cas d exception a ou na pas hen. 

 M;i in tenant, on a (AB) = 2?n, ou (AB) = 2m + 1 , selon que le nom- 

 bre p est de la forme Sm -f- 1 ou de la forme Sm -f- 5. Le nombre des 

 solutions de la congruence /3 -j- /3 1 = sera done toujours = m. 

 Ainsi I'unit6, qui est un r6sidu, sera contenue m fois parmi les com- 

 binaisons des non-residus, d'ou il suit que la meme chose aura lieu 

 pour tous les r^sidus, c'est-a-dire qu'on aura r= m. II suit done de 

 1 V( 1 1 1 ; 1 1 1< ) 1 1 . 



p-S 



r = 



qu'on a q=m ou q = m 1 selon qu'on a />=8z-f5 on p=8m-\-\. 

 La congruence I + 1 + /3=0 6quivaut a la congruence 1 -)- 1 2 = 0, 

 il s'en suit done, comme corollaire, que le nombre 2 est ou n'est pas 

 un rdsidu selon qu'on a p = 8m -f- 1 ou p = Sm -f- 5. 



6). Dans ce qui precede, j'ai seulement conside> les combinaisons 

 binaires, c'est-a-dire les combinaisons qui naissent de la reunion de 

 deux r^sidus ou de deux non-residus. On pourrait ais^ment elendre ces 

 considerations anx combinaisons ternaires, etc.; mais comme ces re- 

 cherches m'^carteraient trop du but principal, je me contenterai de 

 ddmontrer par les monies principes les proprie"t6s du nombre 3 con- 

 side>6 comme r^sidu quadratique. 



Pour abr6ger , je ddsignerai la congruence l-fa + a, + /3=0 par 

 (D), la congruence /S + /3, -f /3 /r 1 =0 par (E), et je suppose que les 

 trois nombres /3, p /} (S ri ne peuvent etre 6gaux. Ainsi, si le nombre 

 premier p est de la forme 4m + 1 , la congruence (D) aura un nombre 

 de solutions trois fois plus grand que le nombre des solutions de la 



