14 RECHERCHES SUR LA 



congruence (E), parce que le nombre 1 tant un r^sidu, on pent 

 <16duire la premiere congruence de la seconde en multipliant celle-ci 

 successivement par /3 w , /3 1V , /3 V , en choisissant ces nombres de maniere 

 qu'on ait /3 /v /3=l, /3, v /3^ = 1, /3 V /3^ = 1. II faut seulement excepter le 

 cas oil la congruence l+l-f-l-|-/3 = 0est une des valeurs de la con- 

 gruence (D). Ainsi, si 1'on d^signe le nombre des solutions de la con- 



c -i o 



gruence (D) par S , la congruence (E) aura -^- ou ^ solutions , selon 

 que le cas d'exception aura ou n'aura pas lieu. 



Si 1'on a p = 4m + 3 , on d^montre par les memes principes qu'en 

 d&signant encore par S le nombre des solutions de la congruence (D) , 

 la congruence a -f- -f- a 1 aura jj- ou ^ solutions , selon que la 

 congruence l-f-l-[-l+/3 = aura ou n'aura pas lieu, suppose^ que 

 les nombres a, ,, ne puissent pas etre e"gaux. Mais, puisqu'on a 

 1 -j-asEa ou 1 + = /3 , on voit que le nombre des solutions de la 

 congruence (D) est e"gal a la somme des nombres des solutions des deux 

 congruences ;/ -f- <*, + /3=0 et /3 , + + /3=0. D'ailleurs , pour chaque 

 valeur ^ 1 + , la congruence -{- a -f- /3 =0 aura autantde solu- 

 tions que la congruence 1 -f- + /3,^0 (parce qu'on peut faire & r a = ,, 

 a p =/3), et pour chaque valeur /3 =!-)- la congruence /3 + +/3=0 

 aura autant de solutions que la congruence 1 + / 3 , + // 0. 



Maintenant il faut distinguer quatre cas diff<^rents. 



I). Si 1'on a p = 12m -j- 1 , le nombre des solutions de 1'^quation 

 a =!-{- sera= (AA) = ^^, le nombre des solutions de 1'equation 

 j8 = 1 + sera = ( AB ) = 3t&, et le nombre des solutions de la con- 

 gruence 1 -)- -f- /3, = sera aussi z! Partant on aura 



et ce nombre 6tant divisible par trois, le cas d'exception n'a pas lieu. 

 II). Si 1'on a p= 12w + 7, liquation = 1 -f aura 22B solutions ? 

 1'equatiori /3 = 1 -f- a aura 2 solutions, et la congruence 1 -f- + /3 = 

 aura ^- solutions. Ainsi, on aura 



