THEORIE DES RESIDUS QUADRATIQUES. 15 



et com 11 ic ce noi 11 lire est divisible par trois, le cos d'exception n'uuru 

 pas lieu. 



III). Si Ton a p = 12m + 5, on trouve 



ainsi le cas d'exception aura lieu. 



IV). Si Ton a p = 12m + 1 , on trouve 



lo cas d'exception aura done lieu. 



En r^unissant ces quatre cas , on trouve que la congruence 

 l-f-l-}-l-j-/3=Oest oun'est pas resoluble, selon qu'on ap=l2m-}-l, 

 p= 12m + 7 ou p= 1 2m +5 , p= 1 2m -f- 1 Mais si cette congruence est 

 resoluble, le nombre /3 doit n^cessairement etre dgal a 3, il en suit 

 done que le nombre 3 est un non-r^sidu des nombres p = 3m -j-2 et 

 un r^sidu des nombres p 3m -J- 1 . 



7). Si, dans la s6rie des r^sidus, on retranche chaque terme de tous 

 les suivants, j'appellerai les nombres qui naissent de cette operation, 

 les differences des re"sidus. Les differences des non-r^sidus sont les 

 nombres qui naissent de la m6me operation appliqu^e aux non-r^si- 

 dus. Le nombre des differences sera done gal au nombre des combi- 

 naisons. 



Mainteriant je dis : si p est un nombre premier de la forme 4m -j- 3 , 

 les differences des r^sidus ou des non-residus, prises une a une, seront 

 congrues aux combinaisons des r&sidus ou des non-r^sidus , prises une 

 a une, abstraction faite du signe. Par exemple, les rcsiilus du nombre 

 1 1 sont : 



1, , *, 8, 9, 



les combinaisons de ces r^sidus sont : 



1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 



