16 RECHERCHES SUR LA 



et leurs differences 



1, 1, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 



et 1'on trouve 



1 = 1,2 = 2, 8 = 8, 4 = 4, 5 = 5, 6 = 6, 7== 4, 8 = 8, 9 = 2, 10 = 1. 



Eri effet, on voit ais&nent que si 1'on a, par exemple : 

 et que le nombre a 4 satisfasse a la congruence 4 a, = a 3 , on aura aussi 

 ou bien, en ecrivant a 5 au lieu de cr- 4 a. et a 6 au lieu de a 4 3 , 



rnais o 6 5 ou a 5 a 6 est une difference, ainsi cette difference sera 

 congrue avec la combinaison a 3 , abstraction faite du signe. 



On demontre de la meme maniere les autres cas du theorerne. 



8). 'Si 1'on prend u = 3 ^, on a, d'apres les formules connues, 



(1). . . . cos. w +- cos. 2a -+- cos. SM -+- -- cos. (/> !) a = 1, 



(2). . - . sin. a -t- sin. 2u -t- sin. 3a -t- -4- sin. (/> l)a = 0, 



et puisque les nombres 1,2,3, .... p 1 renferment tous les r&idus 

 et tous les non-re! sidus du nombre p, ces formules se changent dans les 

 suivantes : 



(8) cos. aw -+- cos. ba = 1 , 



(4) . . . , sin. ou -t- sin. ia = , 



si 1'on pose 



cos. o,co -t- cos. a^u +- . . . . -t- cos. a n a = 1 cos. aw , 

 cos. b L u -t- cos. fc^w -+- . . . . -t- cos. b n a = S cos. ba , 



sin. a,u -4- sin. o a u -t- -t- sin. a n w = E sin. oa , 



sin. fc,co -t- sin. b^a +- -t- sin. b n a = S sin. 6w. 



