RECHERCHES SUR LA. 



en substituant successivement, au lieu de /3, totites les differences 

 des residus ou toutes les differences des non-residus. Ainsi, en combi- 

 nant les equations (20) avec les Equations (17), on voit sur-le-champ 

 que les sommes 2 sin. a^. sin. a 2 u et 2 sin. b^. sin. Z 2 . doivent n6ces- 

 sairement etre egales a zero. 



A 1'aide des Equations (18) et des equations (11), on trouve 



(21) . . . 



r 



[s sin.oa] 2 = S (sin. oa) 2 -4- 2s sin. a t a. sin. a 3 a = y 



s sin.Aa] 2 = S (sin. 6a ) 2 -f- 22 sin. i.a. sin. b^a = j , 



et par consequent 



sin. au = , S sin. ba = zc 



2 2 



J'ai deja remarqu^ dans 1'introduction qu'on a toujours 



D sin. a:j = , sin. ba= 



, 

 2 



c'estpar cette raison que, dans ce quisuit, je n'^crirai plus le double 

 signe. 



12). Le theoreme qui a (6t4 d^montre dans le nume'ro 3, conduit a la 

 determination des sommes 2 sin. Cw et 2 sin. cw, mais ici il faut distinguer 

 deux cas, selon que le nombre|? est de la forme 8 m + 3 ou de la forme 

 8m + 7. Dans le premier cas, on aura 



(23) 



sin. Ca = m S sin. aa -+- m S sin. ba = , 

 S sin. cu = m Z sin. aa -t- w S sin. foa = , 



mais , dans le second , on aura 



(24). . . '. . 



D'ailleurs on a 



S sin. Ca = m S sin. oa -t- (m -4- 1) sin. ia = , 



Ji 



S sin. ca = m S sin. ba +- (in -+- 1) S sin. aa = - 

 sin. (a-t-P) = sin. aa. cos. /3a -t- cos. a. sin. 0j. 



