THEORJE DES RESIDUS QUADRATIQUES. 21 



Maintennnt, si Ton substitue successivement a la place de +/3 tous 

 Ics termes qu'on obtient en ajoutant chaque residu a tous les suivants, 

 de maniere que le premier de ces rdsidus soil = et le second =/3, la 

 somme de ces sinus sera egale a I sin. Cw, et 1'on aura 



(23) ..... S sin. Cu= Esin. o,u. cog. a,u. -4- icos. <*,&>. sin. a,u , 



en dsignant par 2 sin. a,. cos. a, et par 2 cos o,w. sin. a 2 &> les sommes 

 qu'on obtient en substituant successivement a la place de a, chaque 

 residu , et a la place de a, tous ceux qui le suivent dans la se>ie des 

 residus. On aura done 



(26) ..... S sin. a,u. cos. a.,u i- S cos. a,.-:, sin. a,u = , 



si 1'on a p = 8m + 3 , et 



V~v 



(27) ..... S sin. a,u. cos. a t u -i- S cos. a,u. sin. a^w = -- - , 



2 



si 1'on a p=8m + 7. 



13). Considerons la formule 



sin. 2au = 2 sin. au. cos. xa , 



et substituons successivement a la place de a tous les residus, on aura 



S sin. 2a,u = 2S sin. o,. cos. a,u, 



et, par consequent, selon que le nombre 2 est un r^sidu ou un non- 



, 



(28) ........ 1 sin. a.u. cos. a.a = -, 



4 



OU 



\/p 

 i sin. o,u. cos. a t u = -- -=- 



De plus, si 1'on multiplie I sin. //-,- par I cos. ao>, on trouve 



sin. a-j, S cos. aa> = S sin. n,a. cos. ,a -4- S sin. a,u. cos. a,u -4- i; cos. ,&-. sin. a,u, 



ou bien, en reniplurant S sin. au, 2 cos. aw par leurs valeurs trouvees 



