22 RECHERCHES SUR LA 



ci-dessus , , 



(29) ... sin. a,a. cos. ffi,u -+- S sin. a,^. cos. o 2 u -f- S cos. a,u. sin. a 2 w = ^-^ , 



d'ou Ton d^duit, a 1'aide des Equations (26) et (27) , 



D sin. a t a. cos. a,co = 



OU 



E sin. 0,0;, cos. o,ci) = 



, 

 4 



selon que le nombre p est de la forme 8rn+3 ou de la forme 8m -(-7. 



En combinant ces Equations avec les Equations (28) , on aura done 

 une nouvelle demonstration du th^oreme : que le nombre 2 est un 

 r^sidu des nombres premiers de la forme 8m +7 et un non-r^sidu des 

 nombres premiers de la forme 8m +3. 



14). II est remarquable qu'on ne peut exprimer par une formule 

 gene>ale les valeurs des sommes 2 sin. D, 2 sin. du, bien que la deter- 

 mination des sommes 2 cos. Dw, 2 cos. c?w soit fort facile. Cela vient de 

 ce qu'on a sin. ( y) = sin. 9. La valeur des sommes 2 sin. Dw et 

 sin. C/M, changera done avec 1'ordre dans lequel on aura dispos6 les rsi- 

 dus ou les non-r6sidus. Par exemple, le nombre p etant =7, les r6sidus, 

 ranges selon 1'ordre de leur grandeur, seront 



i, , 4, 

 les differences seront 



1, 3, 2; 



ainsi on aura " 



S sin. Da = sin. to -i- sin. 3u -+- sin. 2w ; 



mais si I'on dispose les r^sidus dans 1'ordre suivant 



I, *, 2, 



leur differences seront 



s, i, _a, 

 et Ton aura 



S sin. da = sin. o -t- sin. 8u sin. 2a. 



