2' t RECHERCHES SUR LA 



2 cos. a&> ou a 2 cos. bu, selon que le nombre est un r&sidu ou un non-re"- 

 sidu. A. 1'aide de 1'^quation D), 1'^quation (3 1 ) se change dans la suivante : 



(32) ..... 2-.s(cos. 0a =-^-. 



r 



On a aussi 



E) . . . ' 2" cos. s" =cos. (2*-t-l)z -4- (2+l) cos. (2A l)s....n -- cos.s. 



X i n> 



>* 2*-t-1.2A 2A+1 .... A-t-2 



F) ...... 2 = 1 + 2*4-1-..- . . . . + - - - - - , 



1 * !/ 



done, en substituant successivement au lieu de s les valeurs 0,0), a,w.... 

 a n w, on obtiendra 



(88) ........ 2" (co. aa) 2 ^ 1 = - i. S 2 *. 



II est aise de yoir que les Equations (32) et (33) auront encore lieu 

 si 1'on change a en b ., on a done les deux th^oremes generaux : Si p 

 d&signe un nombre premier de la forme 4w-f-3, on a 



^h N 2/s p 2^ ---- A 4-1 



s (cos. 00} = E (cos. fa) = i -H - -- , 



S (cos. au)- 1 - 1 == S (cos. 



suppos6 que les nombres Ik ou 2^+ 1 sont plus petits que le nombre p. 

 16). Par un precede semblable , on peut aussi g6ne"raliser liquation , 

 (11). Gar on a 



>*-! 2* 2A.. . 



G) . . . 2" . sin. z = cos. 2As2A cos. (2A 2)s ---- '^- 



^^ 1 * X 



2*. 2* 1 2*....*+2 2*....*+l 



En substituant done successivement 0|&), o 2 w... a n to a la place de ^, et 

 en repre"sentant la somme 



(sin.o,u) 2 -+- (sin. a,a) Z .... H- (sin. a n u)~ , 



par 2 (sin. aw) 2 *, on aura 



,*_! ,2* / 2*....A+1\ p-1 2A....A+1 p 2*....*+! 



(84). 8 (..n.) =- 



1....A 4 1....A 4 1....A 



