THEORIE DES RESIDUS QUADRATIQUES. 25 



et comme cette Equation ne changera pas de valeur, si Ton remplace a 

 par l> , on aura 



.2A .2* "Ik .... AH- I 



le nombre 'II, rt a 1 1 1. toujours plus petit que /;. 



La simplicity de cette formule vient de ce que le de*veloppement de 

 sin. s~ k ne contient qne des cosinus, mais il n'est pas possible de trouver 

 une formule aussi simple pour exprimer la somme des puissances im- 

 paires des sinus. En eflet, cette sommation depend de liquation 



i). . . . 





dans laquelle on doit mettre successivement a la place de z toutes les 

 valeurs o,w, o 2 u .... o n w, si 1'on veut trouver la somme 2 (sin. aw) 2 *^ 1 . 



Mais ici, il faut qu'on sache si le nombre (Ik /*) est un rdsidu ou un 

 non-rdsidu, afin qu'on puisse decider si la somme 2 sin. (2A- /x)au est 

 egale a 2 sin. a&> ou a 2 sin. bu (*). 



17). A 1'aide des formules prc6dentes, il ne serait pas difficile de 

 trouver encore un grand nombre d'inte'grales de"finies plus complique^es. 

 Repr^sentons , par exemple, 2 (cos. a,&>) 2 cos. 2 w la somme des termes 

 qu'on obtient en substituant successivement au lieu de a, chaque ix-sidn , 

 et au lieu de a. tous ceux qui les suivent , on aura 



(S cos. aa) 3 = S(cos. oa) 3 -t- 3s(cos. o^JJcos. o, + 3 Scos. a,u(cos. a,u) 2 , 



et a Taide des Equations 6 et 23 , on trouve 



(86) s(cos. o,u) 2 co8. OjU -H Scos. a,w. (cos. a,u) 2 = -^. 



Mais comme ces dveloppements ne pre'sentent aucune difficult^, je 

 ne les poursuivrai pas plus loin. 



(*) M. Lebesgue a dcj& fail une remarque semblable ( Journal des malhematiques , fcvrier 1 840, 

 p. 66) , mais il semble n'avoir pas scnti la nccessilc de restreindre la valeur de 1'exposant au 

 cas ou elle est plus petite que le nombre /> . 



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