26 RECHERCHES SUR LA 



18). Toutes les recherches pre"c6dentes se rapportent aux nombres 

 premiers de la forme 4m +3 ; passons maintenant a la consideration des 

 nombres premiers de la forme 4m+ 1. Puisque, dans ce cas, les nom- 

 bres a et p a , sont contenus ensemble parmi les r^sidus ou parmi 

 les non-r^sidus, a chaque terme sin. a,w ou sin. b^, contenu dans la 

 somme 2sin.au ou 2 sin. bu, re"pondra un autre terme sin. (p a,)&> ou 

 sin. (p Z>,)&) contenu dans la meme somme. Mais comme on a sin. a&>, = 

 sin. (p a,)u, il s'ensuit 



(87) ........ Ssin. au = 0, Ssin. ba , 



ou plus gen^ralement 



...... S(sin.aa) 2 * +l =0; S (sin. i) M+1 = 0. 



Par la meme raison on aura 



=o, 



\sin. aaj \sin. bal 



(-40) E(tg. aa,) 2A+1 = sftg. i 



(41) S (cot. o<a) 2A+1 = S(cot. ba) 2k+1 0. 



Si, dans la formule 



sin. 2au = 2 sin. eui. cos. aa , 



on substitue successivement, au lieu de , tous les r^sidus ou tous les 

 non-r^sidus, on aura 



(42) 



i sin. "la a 

 S sin. a,a. cos. a,a = = . 



m 



1 sin. "Hi-.-: 

 S sin. o,a. cos. b,a == = 0. 



2 



19). Dans la formule 



2 ( cos. au Y 1 -t- cos. 2u , 



je substitue successivement, au lieu de , tous les r^sidus; on aura done 



J - 



(43) 2 S (cos. au) 3 = -t- Scos. "2aa. 



