28 RECHERCHES SUR LA 



si le nombre p = 8m + 5 , et 



p 1 p- 9 p 1 



(SO). . . . Scos. Ca=- -- -- J- Scos. 6u =i -- Scosaa, 



si le nombre jt>=8m+l. D'ailleurs les Equations (17) auront encore 

 lieu ici ; ainsi 1'on trouve 



+ 3 



- 



..... Scos. o,u. cos. a,a S sin. a,u. sin. o 2 u == - , 



Oil 



p 1 

 (52) ..... cos. a t a. cos. a 2 u S sin. a^u. sin. o a u = - -- S cos. aa 



selon qu'on ap^Sm+5 ou jo=8m+ 1 . 



Si 1'on 61eve la somme I sin. aw au carr6 , on obtient 



(2 sin. aa) 1 = S (sin. an)* -+--2S sin. o,u. sin a, = , 



(Toil il suit 



(S3) ....... 2Ssin. a,w. sin. a 2 a = S (sin. au)'. 



21 ). Les Equations (44), (45), (51), (52) et (53), contiennent une nou- 

 velle demonstration du th^oreme , que le nombre 2 est un residu ou 

 un non- residu du nombre premier p, selon qu'on a p = 8m-\-l ou 



En effet, si, apres 1'avoir multipli^e par 2, on ajoute liquation (52) 

 a 1'equation (45) , on obtient 



3/> 7 

 2E (cos.au) 3 -i- Scos. au-t-2Ecos. o,u. cos. a,a aSsin-a^. sin. o 5 u +- SScofc au= j , 



ou, a cause de l'e"quat. (53) et de 1'equation 2(cos.aw) 2 = F 2(sin.aw) 2 , 



S (cos. ou) 3 -f- 3s cos. au -i- 2s cos. a,u. cos. a,u = , 



ou bien 



et par consequent 



p S 



( Lcos. ou ) 2 -t- 8s cos. ou = ; , 

 x 4 



8 



L cos. ou = 

 2 



