SUR LES FONCTIONS ARBITRAIRES. 9 



Cettc continuite sera rompue pour la valour particuliere x >= a, si la 

 difference y(a -f- u) <?a ne s'evanouit pas avec &>; or, cette diffe- 

 rence peut etre (inie ou infmie, d^termiii^e ou indtermine. Dans les 

 trails d'analyse , on dit qu'une fonction <p$ eprouve une solution do 

 continuity pour x = a , si pour cettc valeur la fonction dcvient infmie, 

 parce quo, dans ce cas, la difference <j>(o + w ) ? es ' une quantite 

 indetermin6e ou infmie. La fonction log. ( 1 x] est dans le premier cas, 

 et la suivante ^ r , dans le second ; en effet . pour la premiere . on a 



(1 X -4- W\ 

 __ . 

 1 X I 



Pour savoir ce que devient cette difference , lorsque x devient I" m 1 1 1 < 

 et que w s'evanouit, posons x = 1 -}- w<u; la difference ci-dessus de- 

 viendra log. (m + 1); quantite entierement indeterminee, puisquew 

 est une quantite finie arbitraire. Pour la fraction j^, on trouvera la 

 difference qui devient infmie quand o> s'^vanouit. 



En g^n^ral , la difference 9(0 + w) 90 sera determine ou infi- 

 nie suivaiit que 1'expression uy'(a-j-ww) sera indeterminee ou infinie 

 quand .. s'evanouit. 



Ge mode de discontinuite resulte de la nature meme des fonctions 

 ordinaires qui n'eprouvent de solution de continuite qu'en devenant 

 infinies. Mais 1'esprit peut concevoir, et congoit effectivement 

 1'existence de fonctions pour lesquelles la difference 9(0 + u) <j>a 

 est finie et determine, sans que pour cela, la fonction yx soit infinie 

 pour x = a. 



Les fonctions ordinaires ne peuvent manifester ce dernier mode de 

 discontinuite : nous verrous plus loin que celles qui en sont susceptibles, 

 peuvent etre representees par des integrales definies a parametres va- 

 riables. 



II resulte clairement de ce qui precede, qu'on ne saurait representer 



tons les lieux geometriques en nombre infini, que la pensee con9oit et 



realise , au moyen des fonctions que Ton considere dans la geometric 



analytique et dans le calcul differentiel , parce que la generation de ces 



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