10 MEMOIRE 



fonctions ne peut embrasser toutes les lois de nombres et de quantite"s. 



Les fonctions dont la ge"ne"ralite" n'a pas de limite, celles qui em- 

 brassent tons les modes de generation possibles, sont nomme'es fonc- 

 tions arbitraires ; pendant bien longtemps , les geometres ne purent les 

 reprdsenter par des signes analytiques ; c'est au celebre Lagrange qu'on 

 est redevable de cette importante de"couverte, qui a agrandi le domaine 

 de 1'analyse en faisant faire des progres considerables dans I'int6gration 

 des equations difFe'rentielles partielles , et dans la thdorie des integrates 

 de"finies desquelles dependent les solutions des principaux problemes 

 physico-mathe'matiques. 



Dans un memoire sur la the"orie du son et dans un auti'e sur diffe- 

 rents problemes de calcul integral ', Lagrange e"tablit la formule 



/ 



2 f ao ixx lira. 



(2) fx = - f z sin. ' sin. - - fedx , 



. . T / ' ' 



qui exprime le developpement d'une fonction quelconque suivant les 

 sinus des arcs multiples, et qui subsiste pour toutes lesvaleursde x 

 entre o et /, lors meme que la fonction fas n'est assujettie a aucune loi 

 de continuite, pourvu qu'elle s'evanouisse pour x = o et x = I. 



Quelques anne"es plus tard, dans un memoire qui porte la date de 

 1777, mais qui ne fut imprime" qu'en 1793 dans les Nova acta aca- 

 demies Petropolitance , Euler donna la formule 



x- z" 



1 /^* ^ T'* 



(8] . . F.r = / Yxdx H 2 cos. i.v I cos. ix. Yxdx , 



*J * ' J 



o o 



. 



qui exprime le developpement d'une fonction arbitraire suivant les 

 cosinus des arcs multiples, et qui a lieu pour toutes les valeursde x com- 

 prises entre o et n. 



Je dois cependant ajouter qu'anteVieurement au memoire d'Euler, 

 mais postdrieurement a celui de Lagrange, Daniel Bernouilli 2 avail 



1 Tome III des Anciens memoires de Turin. 

 - Memoires de Petersbourg, annce 1772. 



