SUR LES FONCTIONS ARBITRAIRES. 13 



posant e=o, & = oo , il vient, comme ci-dessus 



ft.: 



/'sin. mx r 



rfjr = arc. (tang. =)=- 

 a; 2 







II est remarquable que la valour nume>ique de la constante m 

 n'influe pas sur celle de cette integrate deTmie, du moins tant que m 

 demeure finie et positive et ne devient pas nulle. C'est ce que dmon- 

 trent d priori les calculs qui precedent ; pour le faire voir d posteriori, 

 posons mx = nt, ou n d^signe une quantite* positive quelconque diflfe- 

 rente de m, et t la nouvelle variable; les limites de l'intgrale seront 

 encore o et oo , et Ton aura 



En changeant le signe de m, la valeur de 1'integrale dfinie (4) devient 

 negative; en effet, a cause de sin. ma; = sin. ( mx), il viendra 



/sin. ( mx) x S*sm.(mx) * 

 - dx = -, d ou / i dx = 

 x 2 J x 2 



o o 



II suit de la, que 1'integrale d^finie (4) change de signe dans le pas- 

 sage de m < o a m > o, et r^ciproquement ; mais que devient - elle 

 quand m est une quantity infmiment petite et s'e\anouit ? Pour r^pon- 

 dre a cette question , consid^rons 1'integrale (4) comme 6tant la somme 

 des valeurs en nombre infini de sa fonction difFe>entielle, lorsqu'on y 

 fait croitre la variable x d'une maniere continue entre les limites o et oo ; 

 dans ce cas, eten supposant m infiniment petit et a?fini, chaque terme 

 de cette somme, a cause de sin. mx mx f sera un inflniment petit du 

 second ordre; quand x devient infini, comme sin. mxne peut surpasser 

 l'unit(S, le terme correspondant sera moindreque^, c'est-a-dire, sera 

 encore un infiniment petit du second ordre : done, dans 1'hypothese 

 actuelle, la valeur de l'intgrale (4) sera une quantite 1 iufiniment petite 

 et qui s'e\anouira avec m. 



