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or, si 1'on remarque que le premier et le second terme deviennent 

 <// a ly 1^0,, pour x=a t , il suit que, pour cette valeur de x, on aura 

 <ftti = { ^a,. -j- { ^a,, 



La meme observation a lieu pour x=a ii , a?= a (j , et ainsi de suite ; done, 

 si 1'on a les conditions <//o,- = <p,a ^a^ -- ^a,,, ^ 2 , 3 = ^ 3 , a j etc..., l'e"ga- 

 lite" pre"cdente pourra s'e"crire comme suit : 



' rr m 



(19) ....... fX = - / f?a.cos.p(x )rfp<&t; 



o 



formule qui subsiste pour toutes les valeurs de x comprises entre a et 

 a, ; mais il faudra doubler les re"sultats correspondents a x = a et 

 $a im , si toutefois la fonction yx ne s'^vanouit pas a ces limites; auquel 

 cas, cela ne sera plus n^cessaire. 



On voit a posteriori que le second membre de cette formule est une 

 fonction de x: en effet, 1'integration par rapport a donne une fonction 

 de x et de p , et l'inte*gration suivante, faisant disparaitre p , il ne reste 

 plus qu'une fonction de la variable x. 



Comme a et a, sont des quantites arbitraires, on peut prendre 

 a = , a im = GO , ce qui donne la formule 



. cos. x 



qui exprime une fonction de x telle que , si x est compris entre zero et 

 1'infini, la valeur de la fonction soit <%x , et que, si x est negative, la va- 

 leur correspondante de la meme fonction soit toujours nulle. 



Si, au contraire, on veut une fonction de x qui subsiste pour des va- 

 leurs de x comprises entre oo et + GO, il faudra prendre a = - - oo 

 et a, m = oo; ce qui donnera la formule suivante due a Fourier : 



oo a> 



(21) ....... - r x = - / I fa. co$.p(x a.)dpdx; 



O 00 



I'int^gration par rapport a p aura lieu entre o et x . 



