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280 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Demostración : 



Sean en efecto 1, A,, A,, A,,. . . . A„ los coeficientes de los términos de la 

 función dada, y a,, a,, a t . . . .a„ las n raices de la ecuación f(x)=0 (en el 

 supuesto de ser del grado n). 



Tendremos : 



x n + X l x n - i + Á i x n - i + A, x»- 3 + .... +A„ = 



f,(0) = A„, f (1) = 1 + A, + A 2 + A, + . . . . -f A n ; 

 De donde: 



(1) K^dta t a k a a ....a n ±f(0)±=2a-- 1,« 



número impar, poruña condición impuesta en el enunciado teorema; luego 

 ninguna de las raices o ( , a 2 , a, . . . .«„ podrá ser número par. 

 Además tenemos también 



(2) 1 -f-A.-f A s + A 3 + ....+ A f =ni) = 2Í*- 1, 

 también número impar por la razón anterior. 



Puesto que las raíces a, , a s , #,, a„ no pueden ser números pares, 



las supondremos impares, y bajo este supuesto analizaremos la compati- 

 bilidad ó incompatibilidad de la espresion (2). 



Para esto nos valdremos de las relaciones : 



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A,= — (a, + fí -f a 3~h • • . . +0n) cuyo número es n 



A,= (a, «r« + «!«,+ •• +fl| «» + ..+«..,<»») » — ^-g — 



* / . , n »(w-l)(n-2) 

 A, = — («i fl«fl a +.-4-«i ««&» +.• + «»-« fl»-,«») » — — 23 



A»„,= (a, a, o,.. «„_, ««.^a, a, a 3 .. a,_ a a„) » n 

 A, = ± o, fl a o, a„ » 1 



El valor numérico de cada uno de los términos entre paréntesis es impar, 

 por ser impar, por suposición, cada una de las raices de la ecuación 

 propuesta. 



El número total de términos de f(]) estará espresado por la fórmula: 



r(i)=i-b«+^^ r ( ?^?|"- 2) + + a( *-¿f~ i > + 



de la que se deduce inmediatamente que /"(I) es un número par, puesto 

 que la forma de su valor numérico está espresada por una potencia entera 

 de 2. 



Luego la espresion (2) es incompatible, puesto que no puede verificarse 

 con valores pares ó impares de las raices a x ....a n y por consecuencia 

 éstas no podrán ser números enteros. 



Tal es la sencilla demostración que proponemos del teorema enunciado. 



Juan Pirovano. 



Buenos Aires, Marzo 8 de 1877. 



