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Ahora bien, estas cuatro ecuaciones son conocidas cuando 

 se conocen las cinco cantidades a, ¡i, y, o y e = a o — (iy; lue- 

 ^o estas cinco cantidades pueden tomarse como coordenadas 

 • le la recta. 



Una ecuación f {cl, P, y, 8, e) = O representa un complejo 

 de rectas, el cual está constituido por las rectas dobles de un 

 sistema focal cuando aquella ecuación e? de primer grado; dos 

 ecuaciones representan una congruencia de rectas, la cual se 

 compone de las rectas dobles de dos ñguras homográficas con 

 dos ejes reales ó imaginarios conjugados, ó con un solo eje, 

 cuando aquellas ecuaciones son de primer grado; y el sistema 

 formado por tres ecuaciones representa un haz alabeado, que 

 es de segundo orden cuando las ecuaciones son lineales. 



Suponiendo que alguno délos vértices del tetraedro 00, 0., 0- 

 se sustituye por una dirección, se obtienen casos particulares 

 del sistema de coordenadas considerado, entre los cuales se en- 

 cuentra el establecido por Plücher en su notable obra Nene 

 Qeometrie des Raumes gegründet auf die Betrachtung der 

 yeraden Linie ais Rmunelemeiit , que aparece cuando el plano 

 0.0,0. es el del infinito. 



9. Los principios establecidos anteriormente permiten efec- 

 tuar en los sistemas generales de coordenadas expuestos el es- 

 tudio de todas aquellas propiedades de las figuras geométricas 

 que están sujetas á la ley de correlación, tales como las teo- 

 rías relativas á los elementos de las líneas y de las superficies, 

 ya sean éstos de primer orden, ordinarios ó singulares, ya sean 

 de orden superior, como los relativos á la curvatura y á los 

 contactos de líneas y superficies, que suelen estudiarse en los 

 tratados de Cálculo infinitesimal y en los de Geometría Ana- 

 lítica empleando sólo las coordenadas cartesianas. Pero las 

 proyectivas tienen sobre las cartesianas la ventaja de poderse 

 con ellas aplicar los razonamientos tanto á los puntos, rectas y 

 planos propiamente tales, como á los impropios ó del infinito. 



