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de que se trata admite seis generaciones por líneas de segundo 

 orden, é infinitas por líneas alabeadas de tercer orden; genera- 

 ciones que corresponden con los haces de rectas del citado pla- 

 no, que tienen sus vértices en las seis aristas del tetraedro res- 

 pectivo ó con los demás haces generadores de este plano. 



8. A una superficie aS de segundo orden corresponde como 

 homologa, en la transformación de tercer grado que estudia- 

 mos, una superficie S' de sexto orden que tiene dobles las aris- 

 tas del tetraedro A' B' CU, una superficie de quinto orden, 

 de cuarto, una de tercero, de segundo 6 un plano, según que 

 la superficie S no contenga ninguno de los vértices del tetrae- 

 dro de referencia, contenga uno de estos puntos, dos, tres, los 

 cuatro, ó sea una superficie cónica circunscrita á este tetrae- 

 dro y tenga su vértice en uno de los de éste. 



Pues si 



Ax^ ^ By^ + Cx^ + Dfi 4- 'IFiix -f- 2Gxx -f 2Hxy 4- 

 2Lxt + 2Myt -f 2^xt = O 



es la ecuación de la superficie »S', la que representa á la S' es, 

 en virtud de las relaciones [2], 



Aa^Y^x'H'^ + Bh.^^x'^x'H'^ + Cc^^x'^-y'H'^-^ Dd^^x'hj'^x'^-{- 



2Fb.^c^x'hj'xt'^ 4- 2 Oa^c^x'y'^x't'^ + 2Ha^h.^'y'x'H'^ + 

 2La^d^xy'H'H'^ 2Mh^d^xhjxH + 2Nc^d^x^y'^x't'=^Q [4], 



y la línea de intersección de la superficie S' con el plano d' es 

 la línea común á este plano y á la superficie que representa la 

 ecuación x"^ y"^ x'^ = 0; lo que prueba que las aristas A' B' A'C 

 y B' C del tetraedro A' B' C U son rectas dobles de la su- 

 perficie. 



Cuando la superficie iSestá circunscrita al tetraedro ABGD, 

 la ecuación anterior carece de los cuatro primeros términos y, 

 por tanto, suprimido el factor común 2x'y'x't', se obtiene para 

 la superficie S' la ecuación 



