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Pues en el primer caso, la recta //?.' puede determinaráe i)or 

 los dos puntos B'C m y B' D'm sitiados en ella, á los cuales 

 corresponden dos planos que pasan por las rectas AD y AG, 

 aristas del tetraedro ABC D. En el segundo caso, la recta mf 

 está determinada por los puntos A' B' m' y C D' m' , á los cua- 

 les corresponden dos planos que pasan uno por la recta CD 

 y otro por la AB. En el tercer caso la recta m' puede consi- 

 derarse determinada por el punto C D' m y el de intersección 

 con el plano d' y, por tanto, la línea m es la intersección del 

 plano ABm, homólogo del primer punto con el cono de segun- 

 do orden Dm, homólogo del punto d'in. Por último, en el 

 cuarto caso, la recta m' une los puntos am' y h'm\ á los cuales 

 corresponden dos conos Am y Bm de segundo orden que tie- 

 nen común la generatriz rectilínea AB y, por tanto, su línea 

 de intersección tn es una curva alabeada de tercer orden. 



25. A una superficie S' de segunda clase corresponde 

 como homologa, en la transformación de teroer orden que es- 

 tudiamos, una superficie S de sexto orden, que tiene dobles las 

 aristas del tetraedro ABCD, una superficie de quinto orden, 

 una de cuarto, de tercero, de segundo orden ó un plano, según 

 que la superficie S' no sea tangente á ninguno de los planos 

 de las caras del tetraedro A' B' C D', sea tangente á uno de 

 estos planos, á dos, á tres, á los cuatro, ó sea una curva inscri- 

 ta en una de las caras del citado tetraedro. La demostración 

 de este teorema es idéntica á la del establecido en el párrafo 8. 



Problema. — ^ Hallar la figura homologa de una curva de se- 

 gundo orden. Discusión del problema según los posiciones que 

 la curva dada ocupe respecto del tetraedro de referencia. 



26. Un caso particular interesante de la transformación 

 de tercer orden que se considera, es aquel en que á los vérti- 

 ces A, B, C y D de un tetraedro corresponde respectiva- 

 mente el conjunto de los planos de las tres caras que los con- 

 tienen, y además la serie situada en una cualquiera de las aris- 

 tas del citado tetraedro está en involución con el haz de planos 

 correspondientes. En este caso, las dos figuras cp y w' se llaman 

 polares una de otra respecto del tetraedro ABCD, cada punto 

 de la primera se llama polo armónico de su plano homólogo, 



