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dobles en la inversión defini- 

 da por éste y por el punto do- 

 ble A" (11 y 12). 



bles en la inversión definida 

 por éste y por el plano do- 

 ble K. 



3.^ Cada UQO de los tres tetraedros ABCD, IJKLy 

 EFOH es autopolar respecto de los otros dos, y dos de ellos 

 quedan determinados por uno de los vértices y el tercer te- 

 traedro. 



Problema. — Dado un tetraedro y las coordenadas de un 

 punto, hallar la ecuación de su plano polar armónico, las coor- 

 denadas de los puntos armónicamente asociados á aquél y las 

 ecuaciones de los planos armónicamente asociados á aquel 

 primero. 



31. Como lus planos bisectores de los diedros de un te- 

 traedro ABCB concurren en un punto K, se deduce de los 

 teoremas anteriores que lo mismo acontece á los planos bisec- 

 tores de los otros siete tetraedros que tienen los mismos vérti- 

 ces que aquél; estos siete puntos están armónicamen e asocia- 

 dos íí aquel primero K, y forman con él dos tetraedros auto- 

 polares respecto del ABC I). 



Problema. — Hallar las coordenadas de los puntos armóni- 

 camente asociados al punto de concurso de los planos bisecto- 

 res de los ángulos diedros del tetraedro de referencia y las 

 ecuaciones de los planos polares de estos punto?. 



32. El plano polar armónico del baricentro de un tetraedro 

 es el plano del infinito, puesto que los planos medianos del te- 

 traedro son las polares de los puntos del infinito de las aristas. 

 El cálculo demuestra también esto; pues siendo las coordena- 

 das del baricentro del tetraedro (le referencia proporcionales 



á las cantidades — , — , — y — , la ecuación [171 se trans- 

 a b c ' d 



forma en la ax ^ by -\- ex -\- dt = Q , que representa el plano 

 del infinito. 



De donde resulta que por el baricentro de un tetraedro pa- 

 san las rectas que unen cada vértice con el baricentro de la 

 cara opuesta (28), y también las rectas que unen los puntos 

 medios de las aristas opuestas, siendo el punto me-lio de los 



