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segmentos finitos de estas rectas limitadas en dichas aristas. 

 El triedro determinado por las tres últimas rectas, junto con 

 el plano uel infinito, constituyen un tetraedro íiutopolar res- 

 pecto del dado, y por los vértices del otro tetraedro autopolar 

 pasan los planos paralelos á cada una de las aristas trazados por 

 la opuesta y están armónicamente separados del baricentro por 

 cada vértice y el plano de la cara opuesta. Estos últimos pun- 

 tos son, pues, vértices del paralelepípedo formado por los tres 

 pares de planos paralelos trazados por los tres pares de aristas 

 opuestas del tetraedro ABCD, siendo, por tanto, los otros 

 cuatro vértices de aquel cuerpo los de este tetraedro. 



Problema. — Hallar las coordenadas de los puntos armóni- 

 camente asociados al baricentro de un tetraedro, y las de los 

 planos armónicamente asociados al del infinito. 



33. Si un tetraedro ABCD es autopolar respecto de una 

 superficie ordinaria ó alabeada de segundo orden, los siete 



puntos armónicamente asocia- planos armónicamente asocia- 



dos á uno cualquiera K de la 

 Superficie, respecto del tetrae- 

 dro ABCD, pertenecen tam- 

 bién á la misma. 



dos á uno de sus planos tan- 

 gentes, respecto del tetraedro 

 ABCD, son también tangen- 

 tes á la misma. 



Pues si Ax^ -f- By^ -j- C^^ _|_ 2)¿2 == O es la ecuación de la 

 superficie considerada, y {x-^,y-^, z^, t^) las coordenadas del 

 punto K, las coordenadas de lus puntos armónicamente asocia- 

 dos á éste, respecto del tetraedro de referencia, son las [18] 

 y [19], y es evidente que, si las coordenadas del punto A' veri- 

 fican la ecuación de la superficie, también la verifican las de 

 los otros siete puntos. 



Recíprocamente, un tetraedro ABCD es autopolar respecto 

 de toda superficie ordinaria ó alabeada de segundo orden que 



pase por ocho puntos armó- sea tangente á ocho planos 



nicamente asociados respecto 

 de dicho tetraedro. 



armónicamente asociados res- 

 pecto de dicho tetraedro. 



En otros términos, toda cuádrica ordinaria ó alabeada 



