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en virtud de las relaciones [6]; y es evidente que el plano po- 

 lar del punto E respecto de esta superficie es el plano E' . 



Si los puntos E Y F coinciden en uno, se deduce el teore- 

 ma siguiente: 



El plano E', polar armónico de un punto E respecto de un 

 tetraedro, es también polar de este punto respecto de la su- 

 perficie homologa de aquel plano en la inversión definida por 

 dicho tetraedro y el punto doble E. 



XV. — ün teorema sobre polígonos regalares del cual 

 son corolarios otros de Gauss, Catalán y Muir. 



Por Augusto Krahe. 



El matemático inglés Muir demostró en 1873 (1) dos teore- 

 mas sobre polígonos regulares partiendo de la fórmula de Gauss 



i (p _ 1) ^ 



2'^ sen — .sen -sen ...sen =^\P (2), 



p P P P 



siendo p un número primo. 



Antes de conocer el trabajo de Muir había yo llegado á sus 

 teoremas por diferente camino, deduciéndolos como corolarios 

 de otro cuya demostración voy á dar. 



Si se divide la circunferencia de radio imidad en m partes 



(1) A propp.rty of convex and stellate regular loolygons of the 

 same number of sides ¿nscribed in a circle, by Thomas Muir. The 



MESSENGER OF MATHEMATICS , 1873, páginas 47 á 50. 



(2) Gauss, Werke II. De summatio quarundarum serierum, 

 página 20. 



