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nada será lado de un polígono de -^ lados, y el número de po- 



lígODOS distintos de esta clase es ó. Existirán, pues, m facto- 

 res iguales á la cuerda señalada. 



Por consiguiente, si m es de la forma 2n -f- 1. y representa- 

 mos por Cj, Cg,... c„, las cuerdas 12, 13,... Im + 1, se tendrá 



q . Cg... c , =\'m (II). 



Cuando m sea de la forma 2n, tendremos para una cuerda 

 cualquiera lo mismo que en el caso anterior. Entrarán además 



— factores iguales á 2 , y de aquella igualdad se deducirá in- 

 mediatamente 





m 



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(III). 



Las fórmulas (IJ) y (III) demuestran nuestro teorema. 



Se puede observar en seguida que la fórmula de Gauss, es- 

 crita al principio de este trabajo, es caso particular de la (II) 

 cuando m sea igual á un número primo p. 



Pasemos á la demostración de los teoremas de Muir (1) : 



1 . Supongamos m = a^' siendo a un número primo. 



Los factores c de (II) ó de (III) son de dos especies: unos, 

 los que provienen de cuerdas que comprenden p divisiones, 

 siendo p primo con a , son los lados de los polígonos de 7n lados; 

 otros, los restantes c, son las cuerdas que se obtienen unien- 

 do Zj con los demás puntos á un mismo lado del diáme- 

 tro en la división de la circunferencia en a^ ~ partes iguales. 

 Si representamos á estas últimas porX^, Xg... y por l^ l^— á las 

 primeras, tendremos de la (11) cuando m sea impar, 



(1) Las indicaciones bibliográficas contenidas en la pág. 21 

 de la obra Vielecke und Vielflache, del De. Max BríJckner, me 

 han servido para llegar á conocer lo? teoremas de Muir. 



